Senkrechte Asymptote
Sie liegt bei einem endlichen x-Wert, an dem die Funktion nicht definiert sein kann oder ihre Werte betragsmäßig wachsen. Links und rechts dürfen völlig verschiedene Vorzeichen auftreten.
Mathematische Feldnotiz
Asymptote
Eine Linie, der eine Kurve beliebig nahe kommt, ohne dass Nähe und Berührung dasselbe bedeuten. Ein Werkzeug für Ferne, Rand und unendliches Verhalten.
Die blassen Randnotizen sind absichtlich sehr kontrastarm gesetzt.
01 · Die Idee
Nähe ist kein Treffpunkt
Im Alltag klingt Annäherung nach einem Weg mit Ziel. Bei einer Asymptote ist das interessantere Ereignis gerade das Verhalten unterwegs. Die Funktionswerte können sich einer Geraden immer weiter nähern, während der Abstand gegen null strebt. Ob die Kurve die Gerade an irgendeiner anderen Stelle schneidet, ist für diese Aussage nicht entscheidend.
Bei der Funktion f(x) = 1/x entstehen zwei vertraute Grenzlinien. Für sehr große positive oder negative x-Werte rückt der Graph an die x-Achse heran: y = 0 ist eine waagerechte Asymptote. Nähert sich x dagegen der null, wachsen die Beträge der Funktionswerte ohne Grenze: x = 0 ist eine senkrechte Asymptote.
Die Form f(x) = a/(x − h) + k verschiebt und streckt diese Hyperbel. Der Wert h legt die senkrechte, k die waagerechte Asymptote fest. Das Vorzeichen von a entscheidet, in welchen gegenüberliegenden Quadranten die beiden Äste liegen. Genau diese drei Hebel lassen sich im Labor verändern.
- Horizontaly = k beschreibt den Fernblick für große Beträge von x.
Vertikalx = h markiert eine verbotene Eingabestelle und das Verhalten in ihrer Nähe.
SchnittManche anderen Funktionen dürfen ihre Asymptote schneiden und sich später erneut nähern.
02 · Kurvenlabor
Verschiebe die unsichtbaren Grenzen
Regle Streckung und Lage der Hyperbel. Der Graph wird aus endlich vielen lokalen Stützpunkten aufgebaut; Werte dicht an der Polstelle werden bewusst getrennt.
Gestrichelt: x = 1
Gestrichelt: y = 0
Gewähltes x
3
Berechnetes f(x)
1
Nicht jede Asymptote liegt waagerecht
Waagerechte Asymptote
Sie beschreibt den Grenzwert für x gegen plus oder minus unendlich. Eine Funktion kann auf beiden Seiten dieselbe oder zwei verschiedene waagerechte Grenzen besitzen.
Schiefe Asymptote
Wenn der Graph in der Ferne einer geneigten Geraden folgt, bleibt nach einer Polynomdivision ein Rest übrig, der gegen null geht. Die Leitgerade muss also nicht parallel zur x-Achse sein.
| Abstand zu x = h | Beispiel x | f(x) | Beobachtung |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | Noch gut sichtbar von der Polstelle entfernt |
| 1 | 2 | 2 | Der Betrag wächst |
| 0,5 | 1,5 | 4 | Die Kurve wird steil |
| 0,1 | 1,1 | 20 | Außerhalb des sichtbaren Ausschnitts |
Drei kurze Entscheidungen
Darf eine Kurve ihre Asymptote schneiden?
Entscheide, ob ein Schnitt die asymptotische Annäherung grundsätzlich ausschließt.
Was verschiebt x = h?
Betrachte f(x) = a/(x − h) + k und wähle die passende Grenzlinie.
Was bedeutet y = k?
Welche Rolle spielt k für sehr große positive oder negative x-Werte?
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Signalstreifen der Messstation